всё зависит от игры и настроек в этой игре. Например в Kinect adventures это делается без проблем. Однако, как заметил верно
ElkTheSenior, большинство игр функции сохранения на жёстком диске не имеют, и могут только заливать в социальные сети, а в некоторых играх даже такого нет и фотки вообще одноразовые.
Если консоль с фрибутом, то данную проблему можно решить созданием скриншотов средствами самого фрибута, я именно так и делаю
