Стандартная беда, чистить контакты картриджа и слота. По поводу "вырубается" - смотреть плату преобразователя в 19В. А еще лучше - сделать ее фото, так-как они разные были в разных ревизиях. И сами геймбои были разными. Первые шли на корпусных микросхемах, затем появлялось все больше бескорпусных, пока, кажется в 4-й ревизи, не поставили все бескорпусные (такие девайсы жрут на 20% меньше батарейки но считаются не труЪ). Напиши какой страны сборка геймбоя, хотябы. Еще важно проверить контакт между платой экрана/кнопок и процессорной платой, там контакты шлейфа, со временем окисляются.
А, ну и еще по питанию большой электролит любит высыхать, стоит в "окошке" платы, по центру. Его менять надо в любом случае, с 89 года он - труха. То же касается и электролитов по звуку. После замены будет больше "бассов"